Bułka trafił do Paris Saint-Germain w 2019 roku. Zagrał jednak w zaledwie dwóch meczach i co chwila był wypożyczany do innych klubów. W ciągu ostatnich dwóch lat grał w hiszpańskiej Cartagenie, francuskim Chateauroux i OGC Nice.
W tym ostatnim klubie Polak prawdopodobnie zostanie na dłużej, bo Nice chce zatrzymać go u siebie na stałe. Informację o potencjalnym transferze przekazał "Le 10sport.com". Zdaniem francuskich dziennikarzy, 22-latek zyskał uznanie w oczach trenera Christophe’a Galtiera, a sami działacze chcą go wykupić już w najbliższym oknie transferowym. Nice w umowie wypożyczenia zagwarantowało sobie opcję wykupu za nieco ponad milion euro (dokładna kwota jest nieznana).
Z kolei francuski dziennikarz Vincent Menichini uważa, że Polak miałby w przyszłości zastąpić Waltera Beniteza, który obecnie jest numerem jeden w bramce Nicei.
Marcin Bułka w tym sezonie bronił głównie w meczach Pucharu Francji. 22-latek był bohaterem meczu 1/8 finału z PSG, gdzie Nicea po rzutach karnych wyeliminowała Paryżan. W lidze na boisku pojawił się tylko raz, w meczu z Clermont 6 lutego.