Grant urodził się jako Avraham Granat w 1955 roku w Petach Tikwie. Jego ojciec Meir Granat przyszedł jednak na świat w Mławie. To właśnie w oparciu o swoje polskie korzenie Grant uzyskał obywatelstwo.
W swojej karierze trenerskiej Grant prowadził liczne kluby z Izraela oraz reprezentację tego kraju (w latach 2002-2006). W sezonie 2007/08 prowadził Chelsea z którą w finale Ligi Mistrzów przegrał z Manchesterem United.
Później pracował także w Portsmouth, West Hamie i Partizanie Belgrad, a obecnie prowadzi kadrę Ghany.
