Kukier sześć razy był mistrzem Polski. Występował w wadze muszej. Był jednym z ulubieńców słynnego trenera Feliksa Stamma. W czasie 14-letniej kariery wygrał aż 234 walki na 256 stoczonych. W barwach reprezentacji Polski zwyciężył w 25 pojedynkach, 10 przegrał.
Największe sukcesy odnosił jako zawodnik Legii Warszawa w latach 1952-1957. Trzy razy startował na igrzyskach olimpijskich: w Helsinkach 1952, Melbourne 1956 i Rzymie 1960. Był mistrzem Europy w Warszawie w 1953 roku, a dwa lata później w Berlinie wywalczył brąz. W 1953 został odznaczony Złotym Krzyżem Zasługi za zasługi i osiągnięcia w dziedzinie kultury fizycznej i sportu.
Na sportowej emeryturze był trenerem m.in. Avii Świdnik i Lublinianki. Pracował także jako kierownik wyszkolenia Okręgowego Związku Bokserskiego w Lublinie. W ostatnich latach cierpiał na demencję w prywatnym ośrodku opieki i rehabilitacji pod Lublinem. - Były pięściarz zmarł na koronawirusa. - Jeszcze wczoraj stan taty się poprawił, a dziś rano otrzymaliśmy informację, że odszedł - mówi córka pana Henryka w rozmowie z portalem Onet Sport.